教学研讨｜2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义 ·教案·课件
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研讨素材一
一、教学分析
前面已经知道,向量的线性运算有非常明确的几何意义,因此利用向量运算可以讨论一些几何元素的位置关系.既然向量可以进行加减运算,一个自然的想法是两个向量能否做乘法运算呢?如果能,运算结果应该是什么呢?另外,距离和角是刻画几何元素(点、线、面)之间度量关系的基本量.我们需要一个向量运算来反映向量的长度和两个向量间夹角的关系.众所周知,向量概念的引入与物理学的研究密切相关,物理学家很早就知道,如果一个物体在力F的作用下产生位移s(如图1),那么力F所做的功
图1
W=|F||s|cosθ
功W是一个数量,其中既涉及“长度”,也涉及“角”,而且只与向量F,s有关.熟悉的数的运算启发我们把上式解释为两个向量的运算,从而引进向量的数量积的定义
a·b=|a||b|cosθ.
这是一个好定义,它不仅满足人们熟悉的运算律(如交换律、分配律等),而且还可以用它来更加简洁地表述几何中的许多结果.
向量的数量积是一种新的向量运算,与向量的加法、减法、数乘运算一样,它也有明显的物理意义、几何意义.但与向量的线性运算不同的是,它的运算结果不是向量而是数量.
二、教学目标
1、知识与技能：
掌握平面向量的数量积及其几何意义；掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；掌握向量垂直的条件。
2、过程与方法：
通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义；体会平面向量的数量积与向量投影的关系。
3、情感态度与价值观：
通过与物理中“功”的类比抽象出向量的数量积，培养学生的抽象概括能力。
三、重点难点
教学重点:平面向量数量积的定义.
教学难点:平面向量数量积的定义及其运算律的理解和平面向量数量积的应用.
四、教法、学法分析
（一）教法
数学教学过程是教师引导学生进行学习活动的过程，是教师和学生间互动的过程，是师生共同发展的过程。教师要以全新的理念来认识课程，对待学生，从发展学生的高度来选择教法。为了顺利实现本节课的教学目标，在教学方法的选择和教学手段的使用上，我的设想主要有以下几点：
1、 无论是数量积的引入，还是性质及运算律的发现，我都是引导学生在与实数运算类比的基础上，进行猜想归纳得出结论。始终把学生作为学习活动的主体，让学生成为学习的研究者，不断地体验到成功的喜悦，激发学生的求知欲，发展了学生思维能力，培养了学生的创新精神。
2、 同一个问题，每一个学生都有着不同的认识角度，得到的结论也会各不相同，这首先是值得肯定的，但同时我也鼓励学生间互相讨论、交流、协作，从而纠正偏差，提高认识，形成网络。
3、 数学课堂中，讲与练是相辅相成、密不可分的，为此，我精心设计和安排练习。一方面，通过练习使学生巩固所学，检验效果，另一方面，使学生在练习中发现问题，产生兴趣，为下一个环节做好铺垫。
（二）学法
1、让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、研究问题和分析解决问题的能力。
2、让学生体会类比的思想方法，提高学生抽象概括、推理论证的能力。类比是特殊到特殊的推理，其结果就有正确与错误之分，强调类比，更要注意区别，特别强调a·b与a·b的运算的区别与不同点。
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